在矩阵乘法中,有一个十分有趣的性质:当两个方阵相乘的结果等于零矩阵时,它们的行列式一定为零。这个结论被广泛应用于线性代数中的各个领域,包括矩阵论、线性方程组和特征值问题等。本文将从多个角度探讨这个性质的证明方法以及其应用。
两矩阵相乘为零则其行列式
首先,我们从矩阵乘法的定义出发来证明这一结论。设有两个方阵$A$和$B$,它们的乘积为$AB$,其中矩阵$A$的维度为$m \times n$,矩阵$B$的维度为$n \times p$。如果$AB$等于零矩阵,那么对于任意的$i\in [1,m]$和$j\in [1,p]$,都有:
$\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} =0$
这就是说,矩阵$A$的第$i$行与矩阵$B$的第$j$列的内积为零。由于当$i\neq j$时,这个内积就是矩阵乘积$AB$中的一个元素,所以$AB$必定是一个对角线上全为零的矩阵。而由于对角线上的元素是$AB$中的$n$个元素相乘,所以矩阵$AB$的行列式为零。因此,我们证明了矩阵乘积为零时行列式必为零的性质。
其次,我们来看看这个结论在线性方程组中的应用。设有一个$n$元线性齐次方程组,可以表示为:
$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0\\ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0\end{cases}$
其中系数矩阵为$A=[a_{ij}]_{n\times n}$,未知数向量为$\mathbf{x}=[x_1,x_2,...,x_n]^T$,零向量为$\mathbf{0}=[0,0,...,0]^T$。如果系数矩阵的行列式$|A|=0$,那么根据行列式的定义,$A$的任意两行线性相关,即存在不全为零的实数$k_1,k_2,...,k_n$,使得:
$k_1\cdot a_{i1}+k_2\cdot a_{i2}+...+k_n\cdot a_{in} =0\quad (i=1,2,...,n)$
这个关系式可以写成矩阵乘积的形式:
$K\cdot \mathbf{A}=\mathbf{0}$
其中$K=[k_1,k_2,...,k_n]$为一行向量,$\mathbf{A}=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]$为系数矩阵的列向量组成的矩阵。这说明$\mathbf{x}$是线性方程组的一个非零解,因此方程组是线性相关的。反之,如果方程组是线性相关的,那么至少存在一个非零解$\mathbf{x}$,使得$\mathbf{A}\cdot \mathbf{x}=\mathbf{0}$,即矩阵乘积$\mathbf{A}\cdot\mathbf{x}$等于零向量。由于$\mathbf{0}$是唯一的零向量,所以我们可以得到$|A|=0$的充要条件是方程组是线性相关的。这就是说,行列式为零的方阵所对应的线性方程组一定是线性相关的。
最后,我们来看看这个结论在特征值问题中的应用。设有一个实对称矩阵$A$,其特征多项式为$f(\lambda)=|A-\lambda I|$,其中$I$为$n$阶单位矩阵。由于$A$是实对称矩阵,所以它的特征值都是实数。根据代数学基本定理,$f(\lambda)$可以分解为:
$f(\lambda)=\prod\limits_{i=1}^n(\lambda-\lambda_i)$
其中$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$为$A$的$n$个特征值。我们考虑当$f(\lambda)$中存在重根时,它对应的特征向量个数就会增加。具体地,假设$f(\lambda)$有$k$个不同的根,其中有$r$个重根($r\leq k$)。不妨设重根为$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_r$,它们各自对应的特征向量为$\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_r$。我们可以将它们合并成一个矩阵$V=[\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_r]$,则$V$的维度为$n\times r$。另外,根据特征向量的定义,对于任意的$i\in [1,r]$,都有$A\mathbf{v}_i=\lambda_i\mathbf{v}_i$。根据矩阵乘积的性质,我们可以将它们表示为:
$AV=[\lambda_1\mathbf{v}_1,\lambda_2\mathbf{v}_2,...,\lambda_r\mathbf{v}_r,B]$
其中$B$为一个$n\times (n-r)$的矩阵。如果$r $VB=[\mathbf{0},\mathbf{0},...,\mathbf{0},\mathbf{0}]$ 其中$\mathbf{0}$为全零向量,有$r$个。因此,我们只需证明矩阵$VB$的行列式为零即可。由于矩阵$V$的秩为$r$,所以矩阵$VB$的秩不超过$r$。又因为矩阵$VB$的行数为$n$,所以它的秩不能超过$n-1$。因此,根据秩-行列式定理,$VB$的行列式一定等于零。而根据行列式的性质,$|VB|=|V|\cdot |B|=0$,即矩阵$V$和矩阵$B$的乘积的行列式为零。这就是说,当特征多项式$f(\lambda)$中存在重根时,对应的特征向量个数会增加,并且它们在一定条件下构成的矩阵的行列式为零。 综上所述,两矩阵相乘为零则其行列式的性质在线性代数中有着广泛的应用。它可以用于证明线性方程组的线性相关性、特征向量的个数和特征向量矩阵的行列式等问题。这个性质的证明方法也有多种,可以从矩阵乘法和行列式的定义入手,或者通过秩-行列式定理等现成的定理来证明。因此,掌握这个性质对于理解线性代数中的相关概念和定理非常重要。 不懂自己或他人的心?想要进一步探索自我,建立更加成熟的关系,不妨做下文末的心理测试。平台现有近400个心理测试,定期上新,等你来测。如果内心苦闷,想要找人倾诉,可以选择平台的【心事倾诉】产品,通过写信自由表达心中的情绪,会有专业心理咨询师给予你支持和陪伴。